Interpolação linear:

A interpolação é executada considerando que existe um gradiente contínuo e regular entre dois pontos amostrados.

Vizinho mais próximo:

O valor interpolado é igual ao valor do ponto amostrado mais próximo

Inverso da distância:

 Os valores interpolados são função da distância e magnitude dos pontos amostrados adjacentes. O inverso da potência da distância é utilizado para atenuar a influência de pontos distantes. Esse processo é baseado no pressuposto de existência de correlação espacial positiva.

 Krigagem

O valor interpolado é obtido por uma média ponderada dos valores dos pontos amostrados em função da distância, considerando que a estrutura dos dados amostrados é isotrópica, sendo que a distância entre os pontos pode ser medida independente de sua situação relativa.

A formulação básica do método assume que a variação espacial do valor interpolado pode ser expressa como a soma de 3 componentes.

O primeiro componente pode ter um valor médio constante ou associar-se a uma superfície de tendência.

Esta superfície de tendência não explica toda a variação dos dados amostrados.

O segundo componente representa os desvios ou resíduos sem considerar um erro aleatório de medidas, considerando apenas uma variável cuja distribuição é explicada em termos de correlação espacial.

O terceiro componente representa um termo residual de erro aleatório e não correlacionado espacialmente

O método de krigagem dá enfasis ao tratamento do segundo componente através da análise da correlação espacial entre os dados, considerando que seu valor é função da distância entre eles.

Sendo o valor de ponto relacionado com os valores dos pontos vizinhos distribuídos a distâncias variáveis, a influência dos pontos mais distantes é menor do que a influência dos pontos mais próximos.

A krigagem estima a variação de valores em função da distancia através da medida da covariância entre os dados separados por diferentes distâncias, utilizando a semivariança das diferenças.

O variograma estabelece o valor da distância para a qual os dados podem ser considerados independentes entre si. Este valor de distância estabelece um limite superior para a área utilizada na interpolação, pontos situados à distância maiores não incluem nenhuma informação de interesse.

O valor do erro esperado para cada ponto interpolado é função dos valores de semivariança observados para os dados.

Outros métodos:

• Múltipla regressão linear

• Mínima curvatura

• Média móvel

 • Ponderação direcional

 • Regressão polinomial

ANÁLISE ESTATÍSTICA DE VARIÁVEIS LINEARES

A descrição estatística de variáveis lineares deve incluir:

Valores mínimo e máximo;

Distribuição;

Média aritmética;

Mediana;

Desvio Padrão;

Distribuição de freqüências,

Variança.

MODELOS DERIVADOS

A partir do MDSC, representado por uma matriz [X, Y, Z], aplicando-se as operações do cálculo matricial, é possível gerar modelos derivados.

GRADIENTE

No MDSC a variável Z próxima a um ponto pode ser descrita de forma aproximada através de um plano:

Z = a₀₀+a₁₀* X +a₀₁* Y

Os coeficientes a₁₀ e a₀₁ são as derivadas primeiras da variável Z em relação aos eixos X e Y.

a₁₀= d Z / d X

a₀₁= d Z / d Y

Os coeficientes a₁₀ e a₀₁ podem ser representados por vetores (V, W) definidos pelos valores das componentes para os eixos X, Y, Z.

O produto vetorial de dois vetores (V x W) é um vetor (P) normal ao plano que contêm os dois vetores.

O vetor (P) é o gradiente de Z no ponto X, Y.

INCLINAÇÃO

A inclinação (g) em um ponto é o ângulo entre o vetor gradiente (P) neste ponto e o eixo vertical H=[0 0 1].

g= cos^-1[((P).(H)) / mod(P).mod(H)] = 1/ [(a₁₀)²+(a₀₁)²+1]^-½

g= tan^-1 [(a₁₀)²+(a₀₁)²]^-½

SENTIDO – AZIMUTE

O sentido ou azimute em um ponto é o ângulo (f) entre o vetor norte (N=[1,0,0]) e a projeção sobre o plano horizontal do vetor gradiente (P=[- a₁₀,- a₀₁,0]), a direção do vetor gradiente é de máxima variação da função ou da variável Z.

cosf = [((P).(N)) / mod(P).mod(N)] = a₁₀ / [(a₁₀)²+(a₀₁)²]^-½

f = tan^-1 (a_10/ a₀₁)

CURVATURA

A curvatura h em um ponto é a taxa de variação da inclinação no ponto e depende das derivadas segunda da variável Z, é a soma das derivadas parciais de segunda ordem em relação aos eixos X e Y.

h= d² Z / d X ² + dZ² / d Y ²

As derivadas são calculadas a partir da expressão de uma superfície de segundo grau:

Z = a₀₀ + a₁₀ X + a₀₁ Y + a₁₁ X. Y + a₂₀ X ² + a₀₂ Y ²

As derivadas primeira são:

d Z / d X = a₁₀+2 a₂₀ * X + a₁₁ * Y

d Z / d X = a₀₁+2 a₀₂ * Y + a₁₁ * X

As derivadas segunda são:

d² Z / d X ²= 2 a₂₀

d² Z / d Y ²= 2 a₀₂

A curvatura no ponto é: